Какие максимальные сроки пребывания в Австрии?

Есть варианты…
Все зависит от типа визы:
Виза типа «С» — краткосрочное пребывание — пребывание в Австрии и другом шенгене на период до 90 дней в течение полугода, начиная с первого въезда в одну из стран шенгена.
виза типа «D» — на срок от 3 до 6 месяцев без наличия разрешения на временное пребывание или вида на жительство. При наличие этой визы возможен транзитный проезд через другие страны Шенгенского соглашения сроком до 5 дней.
Если надо побыть там подольше, то в Австрии выдается либо разрешения на временное пребывание (Aufenthaltstitel), либо вид на жительство (Niederlassungsbewilligung).

Если у меня нет гражданства, то какие максимальные сроки пребывания в Австрии могут быть без него? И что нужно для получения разрешения на временное пребывание там?

Для получения разрешения на временное пребывание необходимо обратиться в посольство Австрии в России, то есть до того, как вы въедете в страну. Пакет документов лучше уточнить на месте, плюс вам еще придется заплатить пошлину, что-то порядка 70-80 евро. И еще надо будет предоставить информацию для каких целей вам необходимо столь длительное пребывание.

Срок пребывания в Австрии непосредственно будет зависеть от типа визы, которую вы получите.
Это может быть краткосрочная — до 3 месяцев.
Можно взять другую визу, которая разрешает находиться в стране до полу года.
На более долгий срок уже нужно оформлять другие документы.